超密度编码概念

经典通信严格遵循一对一的信息传输。要发送两位数据（如 00 或 11），通常需要传输两个电脉冲或无线电波。超密度编码打破了这一限制，它允许仅通过发送一个量子比特来传输两个经典比特的信息。

该协议是量纠缠作为计算资源的一个典型案例。虽然单个量子比特在测量时只能坍缩为 0 或 1，但两方共享的纠缠态构建了一个更大的数学结构。通过操作这个共享结构，我们可以编码比单个粒子本身所能承载的更多的信息。

纠缠的作用

超密度编码协议涉及两个参与方，通常称为 Alice 和 Bob。在进行任何通信之前，他们必须共享一对处于纠缠态的量子比特。这通常由第三方准备，或者由其中一方制作并提前分发。

这对量子比特通常处于贝尔态 $|\Phi^+\rangle$：

$|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$

在这种状态下，Alice 持有量子比特 $A$，Bob 持有量子比特 $B$。虽然每个量子比特本身都没有确定的值，但它们之间存在完美的关联。如果 Alice 测量她的量子比特，她能立刻知道 Bob 将测量到什么。然而，超密度编码并不立即使用测量，相反，Alice 通过在本地操作她的量子比特来改变系统的“整体”状态。

编码信息

Alice 想要给 Bob 发送一个两位消息：00、01、10 或 11。由于她可以操作量子比特 $A$，她可以对其施加单比特量子门。尽管她与 Bob 在空间上是分离的，但对她的量子比特施加量子门会将他们共享的特定贝尔态转换为另一个相互正交的贝尔态。

以下是 Alice 如何将两个经典比特编码到量子系统中的过程：

1. 消息 00：Alice 施加单位门 ($I$)。她实际上什么都不做，状态保持为 $|\Phi^+\rangle$。
2. 消息 01：Alice 施加泡利-Z 门 ($Z$)。这会翻转相对相位，状态变为 $|\Phi^-\rangle$。
3. 消息 10：Alice 施加泡利-X 门 ($X$)。这会翻转比特值，状态变为 $|\Psi^+\rangle$。
4. 消息 11：Alice 先后施加泡利-Z 门和泡利-X 门（等效于 $iY$）。这会同时翻转相位和比特，状态变为 $|\Psi^-\rangle$。

请注意，Alice 仅与其自己的量子比特交互，她没有触碰 Bob 的量子比特。然而，根据她的本地操作，这对量子比特 $|\psi\rangle_{AB}$ 的数学描述发生了彻底改变。

超密度编码的工作流程。Alice 操作她持有的那一半纠缠对并将其发送给 Bob，随后 Bob 拥有整个系统并解码出消息。

传输与解码

在 Alice 施加了对应于其消息的量子门后，她将自己的量子比特发送给 Bob。这是该协议中唯一的物理传输过程。

Bob 现在同时持有量子比特 $A$（从 Alice 处接收）和量子比特 $B$（他最初持有的）。虽然 Alice 使用单比特门进行编码，但信息现在存储在两个量子比特的关系中。为了获取信息，Bob 必须对它们进行去纠缠。

Bob 执行贝尔态测量，这在本质上是创建纠缠电路的逆过程：

1. CNOT 门：Bob 以量子比特 $A$ 为控制位，量子比特 $B$ 为目标位。
2. 阿达马门 (Hadamard Gate)：Bob 对量子比特 $A$ 施加阿达马门。

这个序列将四个纠缠的贝尔态映射回四个标准的计算基态：

$$\begin{aligned} |\Phi^+\rangle & \xrightarrow{\text{解码}} |00\rangle \\ |\Phi^-\rangle & \xrightarrow{\text{解码}} |01\rangle \\ |\Psi^+\rangle & \xrightarrow{\text{解码}} |10\rangle \\ |\Psi^-\rangle & \xrightarrow{\text{解码}} |11\rangle \end{aligned}$$

当 Bob 测量这两个量子比特时，结果正好对应于 Alice 想要发送的两个经典比特。

效率提升的物理原理解析

理解为什么这不违反物理定律非常必要。我们并不是孤立地将两个比特压缩进一个量子比特中。该协议消耗了一对纠缠量子比特来传输两个经典比特。

• 经典资源：传输了 1 个物理量子比特。
• 量子资源：消耗了 1 对纠缠对。

如果 Alice 和 Bob 之间没有共享纠缠，Alice 必须发送两个物理量子比特才能传达两个比特的信息（基于标准的稠密编码限制）。超密度编码用预先建立的量子关联换取了通信带宽。这种权衡是量子算法中常见的主题：我们通过消耗纠缠来完成经典系统难以实现的任务。