理解量子纠缠

经典计算中的比特通常是独立运行的，除非在特定操作期间通过逻辑门明确连接。例如，当两个比特存储在硬盘上时，其中一个的状态不会提供关于另一个状态的任何信息；它们是不同的实体。量子力学引入了一种现象，在这种现象中，这种独立性完全消失。这就是纠缠。

当一组量子比特共享同一个量子态时，就会发生纠缠。在这种情况下，每个粒子的量子态无法独立于其他粒子的状态来描述，即使这些粒子相距很远。此时不再是“量子比特 A”和“量子比特 B”，而是一个单一的系统“量子比特 A+B”。

可分性与纠缠

为了从技术角度理解纠缠，我们必须查看可分性的数学定义。

如果一个多量子比特态可以写成单个量子比特态的张量积，则该态被认为是可分的。对于双量子比特系统，如果我们能找到两个向量 (vector) $|\psi\rangle$ 和 $|\phi\rangle$，使得总状态 $|\Psi\rangle$ 等于 $|\psi\rangle \otimes |\phi\rangle$，那么这些量子比特就没有纠缠。

考虑两个量子比特都处于 $|0\rangle$ 态的情况：

$|\Psi\rangle = |00\rangle = |0\rangle \otimes |0\rangle$

这显然是可分的。我们可以将第一个量子比特描述为处于 $|0\rangle$ 态，将第二个量子比特描述为处于 $|0\rangle$ 态。

现在考虑通过组合叠加态和 CNOT 门创建的状态，我们稍后将作为“贝尔态”进行详细分析。其数学表示为：

$|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$

这个状态描述了系统处于 $|00\rangle$ 和 $|11\rangle$ 的等权叠加状态。$|01\rangle$ 或 $|10\rangle$ 没有概率振幅。

如果我们尝试将其描述为两个独立的量子比特，就会遇到数学矛盾。让我们尝试将 $|\Phi^+\rangle$ 分解为两个通用单量子比特态的乘积：

$(a_0|0\rangle + a_1|1\rangle) \otimes (b_0|0\rangle + b_1|1\rangle)$

展开这个张量积，我们得到：

$a_0b_0|00\rangle + a_0b_1|01\rangle + a_1b_0|10\rangle + a_1b_1|11\rangle$

为了使这个展开后的方程与我们的纠缠态 $|\Phi^+\rangle$ 匹配，中间项 $|01\rangle$ 和 $|10\rangle$ 的系数必须为零。这意味着：

1. $a_0b_1 = 0$
2. $a_1b_0 = 0$

然而，为了使外层项 $|00\rangle$ 和 $|11\rangle$ 存在（它们确实存在于我们的纠缠态中），$a_0b_0$ 和 $a_1b_1$ 必须不为零。这创建了一个不可能成立的方程组。如果 $a_0$ 不为零，那么 $b_1$ 必须为零（来自方程 1）。但如果 $b_1$ 为零，那么项 $a_1b_1|11\rangle$ 就会消失，这与目标状态矛盾。

因为不存在这样的系数，所以状态 $|\Phi^+\rangle$ 是不可分的。这些量子比特处于纠缠状态。

相关性与测量

不可分性的物理意义在于测量结果严格相关。

在可分系统中，测量一个量子比特不会影响另一个量子比特的概率分布。如果你有一个处于 $\frac{1}{2}(|00\rangle + |01\rangle + |10\rangle + |11\rangle)$ 状态的系统，测量第一个量子比特并发现它处于 $|0\rangle$ 态，会使第二个量子比特保持在 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的叠加态。第二个量子比特保留了自己的随机性。

在像 $|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$ 这样的纠缠系统中，结果是关联的。

1. 你测量第一个量子比特。你有 50% 的机会观察到 $|0\rangle$，以及 50% 的机会观察到 $|1\rangle$。
2. 假设你测量到 $|0\rangle$。系统坍缩到与此测量一致的状态。叠加态中唯一与第一个量子比特为 $|0\rangle$ 兼容的部分是 $|00\rangle$ 项。
3. 系统状态立即变为 $|00\rangle$。
4. 如果你随后测量第二个量子比特，你保证会以 100% 的确定性观察到 $|0\rangle$。

随机性仅存在于第一次测量中。一旦该结果确定，第二个结果也就固定了。

最大纠缠系统中测量坍缩的流程。

可视化概率分布

为了直观显示均匀叠加（可分）和纠缠态之间的区别，我们可以查看概率直方图。在 Qiskit 或 Cirq 等量子计算 SDK 中，这通常是验证纠缠的主要方式。

在两个量子比特的均匀叠加中，所有四个结果（$00, 01, 10, 11$）的可能性相同。在贝尔态中，混合状态（$01, 10$）是被禁止的。

概率分布对比显示了纠缠如何消除特定的基态组合。

干涉的作用

必须注意，仅靠相关性并非量子力学所独有。如果你拿一张红卡和一张蓝卡，分别放进信封，然后寄到两个不同的地方，打开一个信封就能知道另一个信封的颜色。这就是经典相关性。

量子纠缠的不同之处在于测量前状态中固有的叠加和干涉。状态 $|\Phi^+\rangle$ 不仅仅是一个“要么是 00 要么是 11，只是我们还不知道是哪一个”的统计混合。它是两者的相干线性组合。

当我们对纠缠的量子比特应用量子门时，这种区别就变得具有实际意义。对纠缠对其中一半执行的操作，会以纯经典相关性无法模拟的方式影响全局状态。这种特性被应用于超密集编码和量子隐形传态等协议中，在这些协议中，操作纠缠资源可以实现超过经典极限的信息传输能力。

在下一节中，我们将使用 CNOT 门以编程方式构建这些状态，看看如何在代码中实现这种数学上的不可分性。