贝尔态构建实践

编写 Python 代码生成 $\Phi^+$ 贝尔态是量子计算中的一项基本技能。这个过程包括将单量子比特叠加与 CNOT 门的多量子比特交互结合起来。

目标是创建一个电路，将默认状态 $|00\rangle$ 转换为纠缠态：

$|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$

这种特定的状态代表了两个量子比特完全相关的场景。如果你测量第一个量子比特的结果为 0，第二个量子比特必然也是 0。如果你测量第一个量子比特为 1，第二个量子比特必然也是 1。你永远不会观察到 $|01\rangle$ 或 $|10\rangle$。

设计电路

在编写代码之前，我们必须将操作序列可视化。要从初始状态创建纠缠，需要两个步骤。首先，将控制比特置于叠加态。其次，利用该叠加态来控制目标比特。

1. 在量子比特 0 上执行 Hadamard (H) 门： 这将量子比特 0 置于 $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ 状态。
2. 以 0 为控制位、1 为目标位执行 CNOT (CX) 门： 由于量子比特 0 处于叠加态，CNOT 门仅在量子比特 0 为 $|1\rangle$ 的那部分状态下作用于量子比特 1。

这个序列将两个量子比特紧密联系在一起。

生成标准贝尔态的操作流程。

Python 实现

我们将使用标准的量子软件开发工具包结构。这种逻辑在大多数 Python 量子库中都是一致的。我们为量子比特定义寄存器，按顺序应用量子门，然后模拟测量过程。

首先，我们初始化量子电路。我们需要两个量子比特来保存状态，以及两个经典比特来存储测量结果。

# 导入必要的组件
from qiskit import QuantumCircuit, Aer, execute

# 初始化一个具有 2 个量子比特和 2 个经典比特的量子电路
qc = QuantumCircuit(2, 2)

# 第 1 步：在第一个量子比特 (q0) 上应用 Hadamard 门
# 这会在 q0 上创建叠加态
qc.h(0)

# 第 2 步：应用 CNOT 门
# q0 是控制位，q1 是目标位
qc.cx(0, 1)

# 第 3 步：测量两个量子比特
# 将量子结果 q0 映射到经典比特 0
# 将量子结果 q1 映射到经典比特 1
qc.measure([0, 1], [0, 1])

# 显示电路图（可选的文本表示）
print(qc.draw())

执行绘图命令时，你应该会看到视觉确认：H 门应用于线路 q0，随后是一条连接 q0 和 q1 的垂直线，代表 CNOT 门。

模拟测量

在理想的数学模型中，测量到 $|00\rangle$ 的概率正好是 50%，测量到 $|11\rangle$ 的概率也正好是 50%。然而，当我们在模拟器（或真实的量子计算机）上运行它时，我们会多次执行实验以建立统计分布。这些重复次数通常被称为“采样数 (shots)”。

我们将运行电路 1,000 次并统计结果。

# 使用本地模拟器
backend = Aer.get_backend('qasm_simulator')

# 执行电路 1000 次
job = execute(qc, backend, shots=1000)

# 获取结果
result = job.result()
counts = result.get_counts(qc)

print("测量计数:", counts)

理解输出结果

你可能会看到类似这样的输出： {'00': 492, '11': 508}

请注意结果中的两个细节。

首先，数字大致相等，但并不正好是每个 500。这是由于统计随机性造成的，类似于抛 1,000 次硬币。你很少会刚好得到 500 次正面和 500 次反面。

其次，也是最的一点，键值 '01' 和 '10' 缺失或计数为零。这种缺失确认了纠缠的存在。在一个非纠缠系统中，如果两个量子比特处于随机叠加态，你会预期看到所有四种组合 ($00, 01, 10, 11$)。而在这里，第二个量子比特的状态完全依赖于第一个量子比特。

可视化相关性

我们可以将这些结果可视化，以便清楚地观察概率分布。下面的图表代表了我们贝尔态生成器的理想输出。

概率分布显示输出结果仅限于相关的状态。

创建其他贝尔态

我们上面使用的逻辑生成了 $\Phi^+$ 态。然而，总共有四个贝尔态。通过在应用纠缠序列（Hadamard + CNOT）之前稍微修改量子比特的初始状态，你可以生成其他三个贝尔态。

H + CNOT 序列充当了一个通用的“纠缠器”。你得到的具体相关性取决于输入。

1. 对于 $\Phi^-$： 在 H 门之后（或根据惯例在 Z 门之后）在量子比特 0 上应用 X 门，然后执行 CNOT。
2. 对于 $\Psi^+$： 在序列开始之前，在量子比特 1 上应用 X 门。
3. 对于 $\Psi^-$： 在序列开始之前，在量子比特 1 上应用 X 门，并在量子比特 0 上应用 Z 门。

例如，要创建 $\Psi^+$ 态 ($\frac{|01\rangle + |10\rangle}{\sqrt{2}}$)，即结果总是相反的（01 或 10），你只需翻转目标量子比特，使其从 1 开始。

# Psi+ 贝尔态的电路
qc2 = QuantumCircuit(2, 2)

# 将 q1 初始化为 |1>
qc2.x(1) 

# 开始纠缠序列
qc2.h(0)
qc2.cx(0, 1)

qc2.measure([0, 1], [0, 1])

如果你模拟 qc2，你会发现结果集中在 '01' 和 '10'，而 '00' 和 '11' 消失了。这表明虽然输出状态不同，但纠缠的基本特性——量子比特之间的完全相关性——仍然是其核心特征。