测量与塌缩

量子比特的状态可以用一个向量 (vector)来表示，该向量可以指向布洛赫球上的任何位置，体现了一种概率分布。叠加态使得量子比特在计算过程中能够承载复杂的信息。然而，这些信息无法直接获取。要从量子计算机中提取答案，必须进行测量。

在量子力学中，测量并非一种被动行为。在经典计算中，读取一个比特不会改变它的值。如果硬盘存储了一个 0，你可以读取它一千次，它依然是 0。而在量子计算中，读取量子比特会从根本上改变它的状态。

当量子比特处于叠加态时，它由基态 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的线性组合来描述。我们将这种状态表示为：

$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$

这里， $\alpha$ 和 $\beta$ 是概率振幅。这些数值告诉我们叠加态中包含多少 $|0\rangle$ 以及多少 $|1\rangle$ 。然而， $\alpha$ 和 $\beta$ 本身并不是概率。它们是描述量子态的复数。

为了找到测量特定结果的概率，我们使用波恩定则（Born rule）。该定则指出，测量到特定状态的概率是其振幅绝对值（模）的平方。

$P(0) = |\alpha|^2$

$P(1) = |\beta|^2$

由于量子比特必须塌缩为 0 或 1，这些概率之和必须始终等于 1（或 100%）。这是我们在线性代数章节中讨论过的归一化 (normalization)条件：

$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$

考虑应用 Hadamard 门之后的量子比特。其状态向量 (vector)在 0 和 1 之间达到了完全的平衡：

$|+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle$

如果我们测量这个量子比特，发现它处于 $|0\rangle$ 状态的概率是：

$P(0) = \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 = \frac{1}{2} = 0.5$

发现它处于 $|1\rangle$ 状态的概率与之相同。这意味着结果完全是随机的，就像抛一枚均匀的硬币一样。然而，如果我们改变振幅，就会使这枚“硬币”产生偏向。

比较带有偏向的量子比特的振幅和概率。在这里， $|0\rangle$ 的振幅约为 0.866，导致测量到 0 的概率为 75%。

经典测量与量子测量之间最明显的区别在于状态向量 (vector)的塌缩。在测量之前，量子比特处于由 $\alpha$ 和 $\beta$ 定义的叠加态中。测量之后，叠加态被破坏。

如果你测量量子比特且结果为 0，量子比特的状态会立即变为：

$|\psi_{new}\rangle = 1|0\rangle + 0|1\rangle$

系数 $\alpha$ 变为 1， $\beta$ 变为 0。如果你在第一次测量后立即再次测量该量子比特，你将以 100% 的概率再次得到 0。随机性仅存在于对叠加态的第一次测量中。

这种不可逆的变化通常被称为波函数塌缩。这意味着我们不能通过测量量子比特来“观察”它的振幅。我们不能问量子比特：“你的 $\alpha$ 值是多少？”我们只能问：“你是 0 还是 1？”，而量子比特被迫做出选择。

要确定叠加态的准确分布（即 $\alpha$ 和 $\beta$ 的值），我们不能依赖单个量子比特。相反，我们必须多次重复实验。这通常被称为“采样”或运行“shots”。

如果你统计出 500 个 0 和 500 个 1，你就可以推断出概率是 50/50，因此 $|\alpha| \approx |\beta|$ 。

状态塌缩的过程。输入允许多种可能性，但输出对于未来的测量而言是单一且确定的。

在本课程中，当我们提到“测量”时，特指在计算基（或称 Z 基）下进行测量。这相当于检查状态向量 (vector)是指向布洛赫球的北极（ $|0\rangle$ ）还是南极（ $|1\rangle$ ）。

在物理上，这与 Z 轴一致。虽然从数学上讲可以沿着 X 轴或 Y 轴进行测量，但标准的量子硬件通常执行沿 Z 轴的测量。如果我们想测量不同的特性，通常会先旋转状态，使信息与 Z 轴对齐 (alignment)，然后再进行标准测量。

理解这一限制对电路设计非常有用。你无法简单地观测整个量子状态。你必须设计算法，使得在塌缩发生时，正确的答案能以高概率出现。在下一节中，你将使用 Python 创建这些电路，观察测量的统计特性在实际代码中是如何表现的。

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