定义量子比特

量子比特（qubit）是一种新型的计算基本单元，它解决了传统二进制逻辑的局限性，是量子信息的基础。传统的比特就像一个开关，非关（0）即开（1），而量子比特更像向量 (vector)空间中的一个方向箭头。它能够同时处于 0 和 1 混合而成的状态。

数学定义

在经典计算中，我们将一个比特的状态（记为 $x$）表示为集合 $\{0, 1\}$ 中的一个值，不存在中间状态。如果你查询这个比特，得到的就是它所保存的确切值。

在量子力学中，我们使用列向量 (vector)来描述量子比特的状态。我们用符号 $|\psi\rangle$（读作 “psi”）来表示这种状态。这种特殊的符号被称为狄拉克符号（Dirac notation）或右矢符号（bra-ket notation），它有助于我们将量子向量与标准变量区分开来。

量子比特的两个基本状态对应于经典状态的 0 和 1。我们称之为计算基态：

$|0\rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$|1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

与必须二选一的经典比特不同，量子比特是以这两个基态的线性组合形式存在的。我们将量子比特的一般状态 $|\psi\rangle$ 表示为：

$|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$

在这个等式中，$\alpha$ (alpha) 和 $\beta$ (beta) 是用来量化 (quantization)量子比特中包含多少 “0 状态” 和多少 “1 状态” 的数值。这些系数被称为概率幅。

概率幅与概率

初学者常会混淆量子比特的状态与测量结果。$\alpha$ 和 $\beta$ 的值并不是简单的百分比，而是描述被观测前量子状态的复数。

当你测量量子比特时，量子力学规则规定叠加态会发生坍缩。你永远不会观测到 “部分为 0 且部分为 1” 的量子比特，测量结果始终是离散的 0 或 1。

测量得到 0 的概率由 $\alpha$ 模的平方给出：

$P(0) = |\alpha|^2$

同理，测量得到 1 的概率为：

$P(1) = |\beta|^2$

由于所有可能结果的总概率必须等于 1 (100%)，因此任何有效的量子比特状态都必须满足归一化 (normalization)约束：

$|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$

这一要求意味着状态向量 (vector) $|\psi\rangle$ 的长度始终为 1。

视觉化差异

为了理解经典状态与量子状态的区别，请参考以下对比。经典比特是离散且受限的。而量子比特占据了一个连续的向量 (vector)空间，尽管其测量结果是离散的。

经典比特的离散选项与量子比特向量的连续组合之间的对比。

模拟视角

将量子比特视为一种数据结构会很有帮助。在经典模拟中，单个量子比特被表示为含有两个复数的数组 $[\alpha, \beta]$。

如果一个量子比特处于 $|0\rangle$ 状态，模拟器会存储：

[1.0 + 0j, 0.0 + 0j]

如果我们执行一项操作使量子比特进入均等叠加态（测量得到 0 或 1 的概率各占 50%），模拟器会将数组更新为：

[0.707 + 0j, 0.707 + 0j]

这里的 $0.707$ 约等于 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。当我们计算这个值的平方时（$(\frac{1}{\sqrt{2}})^2$），会得到 $0.5$，即 50% 的概率。

这种结构允许量子计算机通过这些概率幅的干涉来处理数据。经典概率分布必须始终为正，而概率幅可以是正数、负数或复数。这种特性实现了 “相长干涉” 和 “相消干涉”，使得计算过程中正确答案被放大，而错误答案被抵消。

量子比特属性小结

1. 叠加性： 在被测量之前，量子比特以 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的线性组合形式存在。
2. 测量坍缩： 测量量子比特会迫使它进入其中一个基态。你无法通过单次测量还原原始的 $\alpha$ 和 $\beta$ 值。
3. 归一化 (normalization)： 概率之和必须始终等于 1。
4. 向量 (vector)表示： 状态是复向量空间中的一个向量，这与经典比特的离散逻辑电平不同。

在下一节中，我们将规范化用于描述这些向量的符号，并学习如何对它们进行数学运算。