布洛赫球表示法

仅使用复数和狄拉克符号来直观呈现量子比特状态可能比较抽象。虽然等式 $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ 准确地描述了数学关系，但它并不能直观地反映量子比特如何在不同状态之间移动。为了解决这个问题，物理学家使用一种称为布洛赫球（Bloch sphere）的几何模型。

布洛赫球将单个量子比特的状态映射到单位球（半径为 1 的球体）表面上的一个点。这种几何表示方式将抽象的复概率振幅 $\alpha$ 和 $\beta$ 转换为切实的坐标。它让你能够将量子门直观地视为 3D 空间中的旋转，而不仅仅是矩阵乘法。

球体的几何结构

在这个模型中，经典比特被放置在沿 Z 轴的球体两极。

• 北极代表状态 $|0\rangle$。这对应于标准基向量 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。
• 南极代表状态 $|1\rangle$。这对应于标准基向量 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。

球面上不在两极的任何点都代表叠加态。该点越靠近北极，测量时量子比特坍缩为 0 的概率就越高。反之，越靠近南极，发现它处于状态 1 的概率就越高。

量子比特状态的几何视图。Z 轴表示测量出 0 或 1 的概率。X 轴和 Y 轴表示量子比特的相位。

球坐标

球面上的点通常由两个角度定义：纬度和经度。在量子力学中，我们使用类似的角度，记为 $\theta$ (theta) 和 $\phi$ (phi)，来描述状态向量 $|\psi\rangle$。

我们可以使用这些角度重写状态方程：

$|\psi\rangle = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)|0\rangle + e^{i\phi}\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)|1\rangle$

这个公式引入了两个控制量子比特行为的独立参数。

Theta ($\theta$) 的作用

角度 $\theta$ 衡量与北极（Z 轴）的距离。它决定了状态的概率振幅。

• 当 $\theta = 0$ 时，状态为 $|0\rangle$。
• 当 $\theta = \pi$ (180 度) 时，状态为 $|1\rangle$。
• 当 $\theta = \pi/2$ (90 度) 时，状态位于赤道上。

方程中使用 $\theta/2$ 在数学上具有明确意义。在向量空间中，正交向量（如 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$）相隔 90 度。但在布洛赫球上，为了表现它们截然不同的二进制性质，我们希望它们位于相对的两极（相隔 180 度）。通过除以 2，我们将球面上 180 度的物理间距映射到了向量空间中 90 度的正交性。

Phi ($\phi$) 的作用

角度 $\phi$ 代表经度，即绕 Z 轴的旋转。这被称为量子比特的相对相位。

改变 $\phi$ 会使向量沿着球体的纬线（水平圆圈）旋转。这种旋转不会改变与两极的距离。因此，改变相位 $\phi$ 不会改变测量出 0 或 1 的概率。然而，相位对于量子算法非常重要，因为它决定了量子比特之间如何发生干涉，从而产生相长或相消干涉图样。

直观呈现叠加态

布洛赫球为叠加态提供了极佳的视觉呈现。位于球体赤道上的任何状态都意味着该向量与北极和南极的距离完全相等。

从数学上看，如果 $\theta = \pi/2$，那么 $\cos(\theta/2)$ 和 $\sin(\theta/2)$ 都等于 $1/\sqrt{2}$。这导致测量出 0 的概率为 $50\%$，测量出 1 的概率也为 $50\%$。

赤道上有两个位于 X 轴上的显著状态：

1. $|+\rangle$ 状态： 该点与正 X 轴对齐（$\phi = 0$）。 $|+\rangle = \frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$

2. $|-\rangle$ 状态： 该点与负 X 轴对齐（$\phi = \pi$）。 $|-\rangle = \frac{|0\rangle - |1\rangle}{\sqrt{2}}$

虽然这两种状态产生的测量概率相同，但由于相位不同，它们是不同的量子状态。

该模型的局限性

布洛赫球是建立单量子比特直觉的有力工具，但它也有边界。它能有效地展示单个独立量子比特的状态。然而，当我们在后续章节开始研究多个量子比特以及量子纠缠现象时，布洛赫球表示法就不再适用。纠缠态无法描述为独立球体上的点。

尽管有此限制，布洛赫球仍然是理解单量子比特门的标准接口。当你再后续部分应用“泡利-X 门”或“阿达马门”时，本质上是在执行该向量绕球体轴线的旋转。