介绍 jax.grad

计算梯度对许多任务来说是基础，尤其是在优化机器学习 (machine learning)模型时。JAX 提供了一种强大而简洁的方法，通过函数转换来执行自动微分。它的主要工具是 jax.grad。

jax.grad 本身就是一个函数。它的主要作用是将一个返回标量值的数值型 Python 函数，转换成一个计算原函数梯度的新函数。可以这样理解：你给 jax.grad 一个函数 $f$，它会返回一个函数 $∇f$。

我们来看一个简单的例子。考虑数学函数 $f(x) = x^3$。我们从微积分中知道，它的导数（一维梯度）是 $f'(x) = 3x^2$。让我们看看如何使用 JAX 来计算它。

首先，我们使用标准 Python 语法定义函数 $f$，可能还会用到 jax.numpy 进行数值运算：

import jax
import jax.numpy as jnp

def f(x):
  """计算 x 的三次方。"""
  return x**3

# 测试原函数
print(f"f(2.0) = {f(2.0)}")

f(2.0) = 8.0

现在，我们将 jax.grad 转换应用于函数 f：

# 使用 jax.grad 获得梯度函数
grad_f = jax.grad(f)

print(f"Type of f: {type(f)}")
print(f"Type of grad_f: {type(grad_f)}")

Type of f: <class 'function'>
Type of grad_f: <class 'function'>

请注意，jax.grad(f) 返回一个新的 Python 函数，我们将其命名为 grad_f。这个新函数 grad_f 已准备好计算梯度。要在特定点（例如 $x=2.0$）获得梯度值，我们使用该值调用 grad_f：

# 计算函数 f 在 x=2.0 处的梯度
gradient_at_2 = grad_f(2.0)

print(f"Gradient of f at x=2.0: {gradient_at_2}")

Gradient of f at x=2.0: 12.0

结果是 $12.0$，这与我们手动计算的结果一致：$f'(x) = 3x^2$，所以 $f'(2.0) = 3 \times (2.0)^2 = 3 \times 4.0 = 12.0$。

记住输入和输出类型很重要：

1. 你提供给 jax.grad 一个 Python 函数，它接受一个或多个参数 (parameter)并返回一个单一标量值。
2. jax.grad 返回一个 新 的 Python 函数。
3. 这个 新 函数接受与原函数相同的参数，但返回原函数输出相对于其第一个位置参数的梯度，并在提供的参数值处进行评估。

如果函数接受多个参数会怎样？我们定义 $g(x, y) = x^2 \times y$：

def g(x, y):
  """计算 x 的平方乘以 y。"""
  return (x**2) * y

# 获得函数 g 的梯度函数
grad_g = jax.grad(g)

# 计算在 (x=2.0, y=3.0) 处的梯度
# 默认情况下，这是相对于第一个参数 (x) 的梯度
gradient_g_wrt_x = grad_g(2.0, 3.0)

print(f"g(2.0, 3.0) = {g(2.0, 3.0)}")
print(f"Gradient of g w.r.t x at (2.0, 3.0): {gradient_g_wrt_x}")

g(2.0, 3.0) = 12.0
Gradient of g w.r.t x at (2.0, 3.0): 12.0

这里，grad_g(2.0, 3.0) 计算的是偏导数 $\frac{\partial g}{\partial x}$ 在 $x=2.0, y=3.0$ 处的值。手动计算，$\frac{\partial g}{\partial x} = 2xy$。在 $(2.0, 3.0)$ 处评估得到 $2 \times 2.0 \times 3.0 = 12.0$，与 JAX 输出一致。我们将在后续章节中说明如何计算相对于 其他 参数的梯度。

jax.grad 的一个基本要求是，你进行微分的函数必须返回一个单一的标量数值（例如整数或浮点数，尽管浮点数通常用于微分）。如果你的函数返回数组、元组或任何非标量输出，直接使用 jax.grad 将会导致错误。这与梯度的数学定义相符，梯度适用于标量场（将向量 (vector)或数字映射到标量的函数）。存在对多输出函数进行微分的方法（例如 jax.jacobian），这些方法通常构建在 jax.grad 之上。

最后一点：自动微分通常对浮点数进行运算。尽管 JAX 有时可能允许整数输入，但通常会希望确保你进行微分的函数（以及梯度函数）的输入是浮点数，以获得有意义的导数结果。

# 函数中使用 jax.numpy 的例子
def h(x):
  """计算 sin(x)。"""
  return jnp.sin(x)

grad_h = jax.grad(h)

# 计算在 pi/2 处的梯度（其中 cos(x) = 0）
# 使用 jnp.pi 保证精度并确保浮点数输入
gradient_h_at_pi_half = grad_h(jnp.pi / 2.0)

print(f"h(pi/2) = {h(jnp.pi / 2.0)}")
print(f"Gradient of h at x=pi/2: {gradient_h_at_pi_half}")

h(pi/2) = 1.0
Gradient of h at x=pi/2: 0.0

正如预期，$\sin(x)$ 的导数是 $\cos(x)$，且 $\cos(\pi/2) = 0$。

总而言之，jax.grad 是 JAX 中进行自动微分的核心工具。它将一个返回标量值的 Python 函数转换为一个新函数，该新函数计算原函数相对于第一个参数的梯度。这种转换自动处理了微分的复杂性，使你能够专注于定义自己的计算。