联结主义时序分类 (CTC) 损失

语音识别中的一个主要难题是，输入音频特征的长度与输出文本转录的长度不匹配。例如，一个800毫秒的音频片段可能会产生数千个特征向量 (vector)，但对应的转录可能只是一个像“OK Google”这样的短语。此外，没有明确的逐帧对齐 (alignment)来告诉模型音频的哪一部分对应哪个字符。标准的交叉熵损失函数 (loss function)需要输入和目标之间存在一对一的映射，因此不适用于此任务。

联结主义时序分类 (CTC) 损失旨在解决这个问题。它是一种损失函数，使得神经网络 (neural network)能够针对输入和输出之间对齐方式未知的序列到序列任务进行训练。

对齐 (alignment)问题详述

以一个声学模型为例，例如LSTM，它处理一个音频特征序列。对于每个时间步 $t$ 的每个特征向量 (vector)，网络输出我们词汇表 (vocabulary)中所有可能字符的概率分布。如果我们的输入有 $T$ 个时间步，我们将得到 $T$ 个概率分布。

现在，假设我们的目标转录是单词“CAT”。它的长度为 $N=3$ 。输入特征序列的长度为 $T$ ，这几乎肯定远大于3。我们如何计算损失？这 $T$ 个输出步中，哪些应该对应“C”，哪些对应“A”，哪些对应“T”？那些对应单词间的静默或元音的拉长发音的时间步又该如何处理呢？

CTC巧妙地解决了这个问题，它通过在词汇表中添加一个特殊的空白符来实现，通常表示为或\u03b5。模型现在允许在任何时间步预测这个空白符。

从网络输出到转录

有了空白符，网络的输出序列现在与输入特征序列的长度相同，即 $T$ 。然后我们可以定义一套简单的规则，将这个较长的输出序列（称为“路径”）转换成最终的、较短的转录。

折叠过程如下：

合并重复字符： 首先，将任何连续的相同字符序列折叠成一个字符。例如，C-C-A-A-A-T 变为 C-A-T。
移除空白符： 其次，从序列中移除所有空白符。例如，C--A-A--T 变为 C-A-A-T。

我们来结合这些规则。如果网络输出路径-C-C--A-T-T，转换结果将是：

初始路径： -C-C--A-T-T
步骤1（合并重复字符）： -C--A-T
步骤2（移除空白符）： C-A-T

空白符很重要，因为它分隔了本应不同但重复出现的字符。例如，在单词“HELLO”中，两个“L”在网络的路径中必须由一个空白符分隔，以避免被合并成一个“L”。一个有效路径可以是H-E-L--L-O。而像H-E-L-L-O这样的路径会被错误地折叠为“HELO”。

这种多对一映射意味着许多路径都可以得到相同的最终转录。以下图表说明了来自网络输出层的不同路径如何都能折叠成目标“CAT”。

不同的网络输出序列（路径）在应用CTC折叠规则后，能正确解码为目标转录“CAT”。

CTC损失计算

CTC损失函数 (loss function)的核心思想是将所有能正确映射到目标转录的可能路径的概率相加。我们把目标转录表示为 $Y$ ，输入特征序列表示为 $X$ 。

路径概率： 在每个时间步 $t$ ，网络（例如，LSTM）输出词汇表 (vocabulary)（字符加上空白符）中每个标记 (token) $k$ 的概率分布 $p_t(k)$ 。长度为 $T$ 的单个路径 $\pi$ 的概率是每个时间步上标记概率的乘积：
$P(\pi | X) = \prod_{t=1}^{T} p_t(\pi_t)$
其中 $\pi_t$ 是路径 $\pi$ 在时间步 $t$ 的标记。
目标总概率： 目标转录 $Y$ 的总概率是可以折叠成 $Y$ 的所有路径 $\pi$ 的概率之和。
$P(Y | X) = \sum_{\pi \in \text{有效路径}} P(\pi | X)$
损失函数： CTC损失是这个总概率的负对数似然。通过最小化此损失，我们最大化了网络输出解码为正确文本的路径的概率。
$\mathcal{L}_{CTC} = - \log P(Y | X)$

计算所有可能路径的总和似乎计算上难以处理，因为路径数量随序列长度呈指数级增长。然而，这个求和可以通过一种称为前向-后向算法的动态规划方法高效计算，该算法类似于隐马尔可夫模型 (HMM) 中使用的算法。幸运的是，TensorFlow和PyTorch等深度学习 (deep learning)框架提供了优化实现，所以您只需调用函数，无需担心底层复杂性。

解码训练好的CTC模型

模型训练完成后，我们可以将其用于推断，将新的音频转换成文本。网络生成一个大小为 $T \times (\text{字符数} + 1)$ 的概率矩阵。从该矩阵生成文本的过程称为解码。

最简单的解码方法是贪心解码（也称为最佳路径解码）。在每个时间步 $t$ ，我们简单地选择概率最高的标记 (token)。这给了我们一个单一的、最可能的路径。然后我们使用CTC规则折叠这条路径。

例如，如果每个时间步的argmax产生路径H-H--E-L-L--L-O-O，贪心解码会将其折叠为：

H-H--E-L-L--L-O-O -> H--E-L--L-O（合并重复字符）
H--E-L--L-O -> HELO（移除空白符）

虽然速度快，但贪心解码不是最优的，因为最可能的路径可能不会产生最可能的转录。许多“好”路径的概率之和可能高于单个“最佳”路径的概率。更复杂的算法，例如我们将在第5章讨论的束搜索，通过在解码过程中考察更多高概率路径，可以取得更好的结果。

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参考文献

Connectionist Temporal Classification: Labelling Unsegmented Sequence Data with Recurrent Neural Networks, Alex Graves, Santiago Fernández, Faustino Gomez, and Jürgen Schmidhuber, 2006 Proceedings of the 23rd International Conference on Machine Learning (ICML '06) (Association for Computing Machinery) DOI: 10.1145/1143844.1143891 - 介绍连接时间分类（CTC）损失函数的原始论文，它实现了无需显式对齐的序列到序列学习。
tf.nn.ctc_loss, TensorFlow Developers, 2024 - TensorFlow CTC 损失函数实现的官方文档，提供实际使用细节。
torch.nn.CTCLoss, PyTorch Developers, 2024 (PyTorch Foundation) - PyTorch CTC 损失函数实现的官方文档，详细说明其 API 和用法。
Speech and Language Processing (3rd ed. draft), Daniel Jurafsky and James H. Martin, 2025 (Stanford University) - 一本全面的教科书，涵盖语音识别基础知识，包括 CTC 的详细解释。