时域与频域分析

数字信号$x[n]$表示模拟声波在离散时间点上的振幅，得到一系列数字。这称为时域表示。它直接回答了“信号在特定时刻的振幅是多少？”这个问题。

尽管这一视图必不可少，但它在语音识别方面存在明显局限。

时域视图

当我们绘制数字音频信号的振幅随时间（或采样点数）变化的图时，会得到一个波形。这种可视化方法有助于观察整体特征，如响度（对应较高的振幅）和静音时刻（振幅接近零）。

我们来看一个简单的波形。下方的图表显示了信号在几分之一秒内的振幅。

一个显示信号振幅随时间变化的波形图。

你可以分辨出响亮和安静的部分，但要区分语音的实际内容，比如“s”音和“sh”音之间的差异，几乎不可能。这些不同的声音是由它们的频率成分决定的，而不仅仅是整体振幅。为了让机器学习 (machine learning)模型学习语音的基本组成，它需要更丰富的数据表示。

频域视图

频域提供了一个不同的视角。我们不再绘制振幅与时间的关系图，而是绘制信号强度（或能量）与频率的关系图。这种视图回答了“信号中存在哪些频率以及它们有多突出？”这个问题。

为了从时域转换到频域，我们使用一种数学方法，称为傅里叶变换。对于数字信号，我们使用其对应的离散傅里叶变换（DFT），它通常通过一种高效算法——**快速傅里叶变换（FFT）**来计算。

傅里叶变换将信号分解为一组不同频率的正弦波和余弦波，这些波加在一起可以重建原始信号。FFT的输出为我们提供了每个频率分量的两个重要信息：它的幅度（该频率存在多少）和它的相位（波的偏移）。对于语音分析，我们主要关注幅度。

如果我们取一个由两个纯正弦波组成的信号，一个在200赫兹，另一个在500赫兹，它的频谱将如下图所示：

显示在200赫兹和500赫兹处有两个明显峰值的频谱图。

这提供了更多的信息。我们可以清楚地看到构成信号的各个频率，这些在时域波形中是不可见的。

非平稳信号的难题

这里有一个问题。语音是一种非平稳信号，这意味着它的统计特性，特别是其频率成分，会随时间变化。当你发出“语音”（speech）这个词时，“s”音的频率与“ee”音的频率差异很大。

如果我们对“语音”（speech）这个词的整个音频片段应用一次FFT，我们将得到一个单一的频谱，它平均了“s”、“p”和“ee”音的频率。我们将知道这个词整体上存在哪些频率，但会丢失所有关于它们何时出现的信息。这种时间信息对于区分“cats”和“stack”来说非常重要。

时频结合：短时傅里叶变换

解决方法是对信号进行小的、易于处理的分段分析，在这些分段中我们可以假定信号是平稳的（其属性变化不大）。这就是**短时傅里叶变换（STFT）**的作用。

STFT的工作方式如下：

1. 分帧： 将长音频信号切割成短的、通常重叠的帧。典型的帧大小为20-30毫秒，这足以捕捉单个语音事件。
2. 加窗： 每个帧乘以一个窗函数（如汉宁窗或汉明窗）。这会将帧开头和结尾的信号逐渐减小到零，从而减少因突然截断信号而可能产生的频谱失真。
3. 应用FFT： 对每个加窗的帧计算快速傅里叶变换，以获取其频谱。

结果是一系列频谱，每帧一个。通过将这些频谱并排排列，我们创建了一种表示，它显示了信号的频率内容如何随时间变化。这个过程是创建语谱图的依据，我们将在下一节讨论。

对音频信号应用短时傅里叶变换（STFT）的过程。

这种时频分析对现代ASR很重要。它将一维、模糊的波形转换为一个内容丰富的二维图像，清晰地分离出模型需要学习的声音模式。通过理解时域的“何时”和频域的“何种内容”，我们为语音识别模型获取有效特征创造了条件。