PCA降维

随着您生成更多特征，也许是通过交互项或多项式扩展，您可能会发现输入变量的数量非常大。虽然有时有益，但具有许多维度（特征）的数据集可能带来挑战。训练模型可能变得计算成本高昂，并且由于“维度灾难”而增加了过拟合 (overfitting)的风险，这是一种在高维空间 (high-dimensional space)中数据变得稀疏，使模型难以泛化的现象。此外，拥有数百或数千个特征时，解释模型或可视化数据变得困难。

降维技术旨在减少输入变量的数量，同时尽可能保留有意义的信息。主成分分析（PCA）是为此目的最广泛使用的无监督技术之一。它不仅仅选择原始特征的一个子集；相反，它构建了一个新的、更小的特征集，称为主成分，这些成分是原始特征的线性组合。

理解主成分分析 (PCA)

PCA的核心思想是找出数据中方差最大的方向。想象您的数据点绘制在多维空间中。PCA识别出数据点最分散的轴，这是第一个主成分（PC1）。然后它找到与第一个轴正交（垂直）的下一个轴，该轴捕获了剩余的最大方差。这是第二个主成分（PC2），以此类推。

每个主成分是原始特征的线性组合：

$PC_i = w_{i1}X_1 + w_{i2}X_2 + ... + w_{ip}X_p$

其中 $PC_i$ 是第 $i$ 个主成分，$X_j$ 是第 $j$ 个原始特征，而 $w_{ij}$ 是定义每个原始特征对主成分贡献的载荷得分或权重 (weight)。

这些成分有两个重要特性：

1. 它们按解释的方差量排序，PC1解释的最多，PC2次之，以此类推。
2. 它们彼此不相关。这对于某些对多重共线性敏感的建模算法可能有利。

从数学角度看，PCA涉及计算数据协方差矩阵的特征向量 (vector)和特征值（或者对数据矩阵执行奇异值分解，SVD）。特征向量给出主成分的方向，相应的特征值表示沿这些方向的方差大小。

PCA数据标准化处理

在应用PCA之前，几乎总是需要标准化您的数据，这意味着将每个特征缩放到具有零均值和单位方差。为什么？PCA查找最大方差的方向。如果特征具有非常不同的尺度（例如，一个特征范围从0到1，另一个从10,000到1,000,000），则尺度较大的特征将固有地具有更大的方差，并将主导主成分，无论其在捕获数据结构中的实际重要性如何。标准化确保所有特征对分析的贡献相同。

我们可以使用scikit-learn中的StandardScaler：

import pandas as pd
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.decomposition import PCA
import numpy as np

# 假设 'X' 是您的 pandas DataFrame 或 NumPy 特征数组
# 示例数据（请替换为您的实际数据）
data = {'feature1': np.random.rand(100) * 10,
        'feature2': np.random.rand(100) * 1000,
        'feature3': np.random.rand(100) - 50}
X = pd.DataFrame(data)

print("原始数据样本：")
print(X.head())

# 1. 标准化数据
scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)

print("\n标准化数据样本（均值接近0，标准差接近1）：")
print(pd.DataFrame(X_scaled, columns=X.columns).head())

使用Scikit-learn应用PCA

数据缩放后，使用scikit-learn的PCA类应用PCA非常直接。您通常需要决定保留多少个主成分。

# 2. 应用PCA
# 让我们首先拟合PCA，不指定组件数量
# 以查看每个组件解释了多少方差。
pca_full = PCA()
pca_full.fit(X_scaled)

# 解释方差比例：每个组件解释的方差百分比
explained_variance = pca_full.explained_variance_ratio_
print("\n每个组件的解释方差比例：")
print(explained_variance)

# 累积解释方差
cumulative_variance = np.cumsum(explained_variance)
print("\n累积解释方差：")
print(cumulative_variance)

选择组件数量

决定保留多少个组件（$k$）的常用方法是检查累积解释方差。您可以设置一个阈值，例如保留足够的组件来解释总方差的95%或99%。绘制累积解释方差有助于可视化这种权衡。

随着主成分数量的增加，显示累积解释方差的图。一种常见的方法是选择曲线开始趋于平稳或达到所需阈值（例如95%）时的组件数量。

根据图表或累积方差数组，您可以选择组件数量。例如，如果保留2个组件可以解释95%的方差，您可能会认为这已足够。

# 3. 选择组件数量（例如，目标是 >= 95% 方差）
n_components_chosen = 2 # 根据示例输出或图表

# 使用选定的组件数量再次拟合PCA
pca = PCA(n_components=n_components_chosen)
pca.fit(X_scaled)

# 4. 将数据转换到低维空间
X_pca = pca.transform(X_scaled)

print(f"\n原始数据形状：{X_scaled.shape}")
print(f"转换后数据形状（含 {n_components_chosen} 个组件）：{X_pca.shape}")

print("\n转换后数据（前5行）：")
print(X_pca[:5, :])

生成的 X_pca 数组现在包含由前两个主成分表示的数据。这些新特征捕获了原始数据集中最重要的方差，但处于较低维空间。您现在可以将 X_pca 用作机器学习 (machine learning)模型的输入。

可视化示例

PCA通常用于将数据降至2或3维以进行可视化。让我们想象将PCA应用于Iris数据集（有4个特征）并绘制前两个主成分。

# 使用Iris数据集的示例（假设已加载）
# from sklearn.datasets import load_iris
# iris = load_iris()
# X_iris = iris.data
# y_iris = iris.target
# target_names = iris.target_names

# scaler_iris = StandardScaler()
# X_iris_scaled = scaler_iris.fit_transform(X_iris)

# pca_iris = PCA(n_components=2)
# X_iris_pca = pca_iris.fit_transform(X_iris_scaled)

# 现在，想象绘制 X_iris_pca[:, 0] 与 X_iris_pca[:, 1]
# 按 y_iris 颜色区分。

# 用于图表说明的虚拟数据（请替换为实际PCA结果）
import plotly.graph_objects as go
dummy_pca_data = np.random.rand(150, 2) * np.array([[5, 2]]) + np.array([[-2, -1]])
dummy_labels = np.random.randint(0, 3, 150)
colors = ['#1f77b4', '#ff7f0e', '#2ca02c'] # 示例颜色

fig = go.Figure()
for i, color in enumerate(colors):
    idx = dummy_labels == i
    fig.add_trace(go.Scatter(
        x=dummy_pca_data[idx, 0], y=dummy_pca_data[idx, 1],
        mode='markers',
        marker=dict(color=color, size=8, opacity=0.7),
        name=f'类别 {i}' # 如果可用，请替换为实际的 target_names
    ))

fig.update_layout(
    title="投影到前两个主成分的数据（示例）",
    xaxis_title="主成分 1",
    yaxis_title="主成分 2",
    template="plotly_white",
    legend_title_text='类别'
)

# 为了以兼容的格式显示图表：
# print(fig.to_json())

示例散点图，显示投影到前两个主成分的数据。通常，这些成分可以有效地分离不同的类别或显示数据中的聚类，使它们即使在为建模保留更多成分时，也对可视化很有用。

注意事项与局限性

尽管功能强大，但PCA并非万能：

• 可解释性： 主成分是原始特征的组合。虽然PC1可能代表“整体大小”，PC2可能代表某些特征组之间的对比，但与原始的、特定于领域的特征相比，解释它们的确切含义可能具有挑战性。
• 线性假设： PCA假定特征之间存在线性相关性。如果底层数据结构高度非线性，它可能表现不佳。在这种情况下，诸如核PCA或流形学习方法（例如t-SNE、UMAP，稍后会针对可视化进行介绍）可能更合适。
• 信息丢失： 通过丢弃方差较低的组件，您不可避免地会丢失一些信息。目的是保留足够的方差，以保持建模任务的基本结构。
• 尺度敏感性： 如前所述，PCA对数据尺度高度敏感。务必首先标准化或归一化 (normalization)您的数据。

PCA是数据科学家工具箱中用于降维的一种基本方法。它有助于管理高维数据，可能减少噪声，降低计算成本，并辅助可视化，构成了为高效机器学习 (machine learning)建模准备特征的重要步骤。